自推简谐运动方程的问题

题目

自推简谐运动方程的问题
对于某物体的简谐运动有 F=-kx
设t时刻的回复力为F(t),加速度为a(t),速度为v(t),位移为x(t)
则有a(t)=v'(t)=x''(t)
又有a(t)=F(t)/m=-k*x(t)/m
联立得 x''(t)=-(k/m)*x(t)
微积分解得x(t)=exp[(k/m)^0.5 * x]
即位移x(t)为指数函数,与事实不符,请问该推导有什么错误?
鄙人一高中生,简谐运动还没学到,若问题太傻,还请多多包容...

答案

那是一个微分方程,即x''+k/m*x=0
这个方程的解不是指数型的,而是虚指数型的~可以用正余弦型代替~
设x=Acos（Bx+φ）
x''=-AB^2cos(Bx+φ)
所以,(-B^2+k/m)cos（Bx+φ）=0
所以B=根号下k/m
而如果是指数型,则指数上的要出现复数i的,你的那个指数上的根号下应该为负数,所以可分解为正余弦~