行列式的证明题

题目

行列式的证明题
第一行ax+ay ay+bz az+bx
ay+bz az+bx ax+by
az+bx ax+by ay+bz
证明他等于a+b³乘以一个行列式 第一行 x y z 第二行y z x 第三行z x y

答案

先拆第一行,得
ax ay az
ay+bz az+bx ax+by
az+bx ax+by ay+bz
+
by bz bx
ay+bz az+bx ax+by
az+bx ax+by ay+bz
然后分别拆第二行,得
ax ay az
ay az ax
az+bx ax+by ay+bz
+
ax ay az
bz bx by
az+bx ax+by ay+bz
+
by bz bx
ay az ax
az+bx ax+by ay+bz
+
by bz bx
bz bx by
az+bx ax+by ay+bz
然后分别拆第三行,得
ax ay az
ay az ax
az ax ay
+
ax ay az
ay az ax
bx by bz
+
ax ay az
bz bx by
az ax ay
+
ax ay az
bz bx by
bx by bz
+
by bz bx
ay az ax
az ax ay
+
by bz bx
ay az ax
bx by bz
+
by bz bx
bz bx by
az ax ay
+
by bz bx
bz bx by
bx by bz
记D=
x y z
y z x
z x y
则上面八项中：
第一项=a^3*A,
第二项=0（第一行和第三行线性相关）,
第三项=0（第二行和第三行线性相关）,
第四项=0（第一行和第三行线性相关）,
第五项=0（第一行和第二行线性相关）,
第六项=0（第一行和第二行线性相关）,
第七项=0（第二行和第三行线性相关）,
第八项=b^3*A（交换第一行和第二行,然后交换新的第一行和第三行）
所以行列式的值=(a^3+b^3)*A,即为所求
（你写的结果中a应改成a^3.a,b地位对称,所以不可能是a+b^3）