设矩阵A与B相似,证明A的倒置与B的倒置相似

题目

设矩阵A与B相似,证明A的倒置与B的倒置相似

答案

A与B相似,则存在可逆矩阵P满足 P^-1AP=B
等式两边取转置得 P^T A^T (P^-1)^T = B^T
由于 (P^-1)^T = (P^T)^-1,
所以有 P^T A^T (P^T)^-1 = B^T
令Q=(P^T)^-1
则有 Q^-1A^TQ = B^T
所以 A^T与B^T 相似