已知f(x)是定义在实数集上的函数,f(x)=f(x+8),f(4)=2+根号3,求f(2008)=?

题目

已知f(x)是定义在实数集上的函数,f(x)=f(x+8),f(4)=2+根号3,求f(2008)=?

答案

由f(x)=f(x+8),知f(x)是周期为8的周期函数 所以f(2008)=f(0+251*8)=f(0)
这样思考,因为易知f(x)恒不等于0,则若f(x+4)=-1/f(x) 1式 用x+4代x后有
f(x+8)=-1/f(x+4)
由1式变形有f(x)=-1/f(x+4)
所以f(x)=f(x+8)即得出结论满足f(x)=f(x+8)的函数满足1式即f(x+4)=-1/f(x)
所以f(4)=-1/f(0)=2+√3 所以f(0)=-1/(2+√3)
即f(0)=√3-2 所以f(2008)=f(0)=√3-2