函数f(x)=cosx^2-2cosx/2^2的一个单调增区间

题目

函数f(x)=cosx^2-2cosx/2^2的一个单调增区间

答案

f(x) = cos²x - 2cos²(x/2)
= cos²x - cosx - 1
= (cosx - 1/2)² - 5/4
以 [0,2π] 区间为例,
在 [0,π/3]区间上,cosx 从 1 递减到 1/2,(cosx - 1/2)² 从 1/4 递减到0
在 [π/3,π]区间上,cosx 从1/2 递减到 -1,(cosx - 1/2)² 从0递增到 9/4
在 [π,5π/3]区间上,cosx 从-1递增到1/2,(cosx - 1/2)² 从9/4递减到0
在 [5π/3,2π]区间上,cosx 从1/2递增到1,(cosx - 1/2)² 从0递增到 1/4
考虑 cosx 的周期性,因此 f(x) 的递增区间为
[(2k+1/3)π,(2k+1)π] 和 [(2k-1/3)π,2kπ]
其中 k 为整数
题目只问 一个 递增区间,那么可以是 例如 [π/3,π]