已知函数f(x)=(2x+3)/(3x)(x>0),数列{an}满足a1=1,an=f(1/an-1)(n∈N*,且n》2)

题目

已知函数f(x)=(2x+3)/(3x)(x>0),数列{an}满足a1=1,an=f(1/an-1)(n∈N*,且n》2)
是否存在以a1为首项,公比为q(0

答案

f(x))=(2x+3)/(3x)=2/3+1/x
an=f(1/an-1)=2/3+an-1 → an-an-1=2/3 → an=1+2/3(n-1)=(2n-1)/3
若{ank}存在,则有q^(k-1) = (2nk-1)/3 → nk=(3q^(k-1)+1)/2
而nk是整数,则q必为奇数,由题意有：q=1,q=3满足条件
由条件：数列{ank}中的每一项都是数列{an}中的不同项
只有q=3满足条件
所以：存在ank=3^(k-1)满足题意