已知直线y=-x+1与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞0,b＞0)相交于A、B两点

题目

已知直线y=-x+1与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞0,b＞0)相交于A、B两点
若椭圆的离心率为√3/3,焦距为2,求线段AB的长

答案

设A（x1,y1),B(x2,y2)
e=√3/3 c=1 a=c/e=√3 b=√2
椭圆方程是x^2/3+y^2/2=1
联立 x^2/3+y^2/2=1
y=-x+1
消去y,得
5x^2-6x-3=0
｜AB｜=√(1+1)｜x1-x2｜
x1+x2=6/5
x1x2=-3/5
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=96/25
｜x1-x2｜=4√6 ) /5
｜AB｜=√2*4√6 ) /5=8√3/5