已知a属于R,函数f(x)=a/x+Inx-1,g(x)=(Inx-1)e^x+x(其中e为自然数对数的底数）

题目

已知a属于R,函数f(x)=a/x+Inx-1,g(x)=(Inx-1)e^x+x(其中e为自然数对数的底数）
（1） 求函数f(x)在区间(0,e]上的最小值 （2）是否存在实数x0属于(0,e],使曲线y=g(x)在点x=x0处的切线与y轴垂直?存在请求出x0

答案

（1）f(x)=a/x+Inx-1定义域为(0,+∞)
f(x)'=-a/x²+1/x=0 解得x=a
①a≤0时
f(x)'=-a/x²+1/x>0恒成立∴f(x)在定义域上单调递增∴取不到最小值
②0e时
x=e时最小值a/e
（2）g(x0)‘=0
g(x0)'=e^x0(lnx0+1/x0-1)+1=0
g''(x)=(-1/x^2+2/x+lnx-1)e^x=h(x)e^x
h'(x)恒大于0,h(1)=0
即g'(x)≧g'(1)=1>0
所以不存在x0使g'(x0)=0