若实数A,B,C满足A+B+C=0,ABC=1 求证ABC中至少有一数不小于1.5

题目

若实数A,B,C满足A+B+C=0,ABC=1 求证ABC中至少有一数不小于1.5
提示：令A+B=-C,AB=C分之一 由韦达定理和根的判别式可证得

答案

证明：由a+b+c=0及abc=1可知,a,b,c中只有一个正数、两个负数,不妨设a是正数,由题意得b+c=-a,又：bc=1/a;
于是根据韦达定理知,b,c是方程x^2+ax+1/a=0的两个根,又b,c是实数,
因此上述方程的判别式
△=a^2-4/a≥0因为a>0,所以a^3-4≥0,a^3≥4
a≥(4)^(1/3)>(3.375)^(1/3)=1.5;
这也就证明了a,b,c中必有一个大于等于1.5