已知抛物线y=-x^2-2x+a(a>0)与y轴相交于点A,顶点为M.直线y=1/2z+1/2a与x轴相交于

题目

已知抛物线y=-x^2-2x+a(a>0)与y轴相交于点A,顶点为M.直线y=1/2z+1/2a与x轴相交于
B点,与直线AM相交于N点；直线AM与x轴相交于C点.
（1）求M的坐标与直线MA的解析式（用字母a表示）；
（2）如图,将△NBC沿x轴翻折,若N点的对应点N’恰好落在抛物线上,求a的值；
(3)在抛物线y=-x^2-2x+a(a>0)上是否存在一点P,使得以P,B,C,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出a的值；若不存在,说明理由.

答案

答：
（1）抛物线y=-x^2-2x+a=-(x+1)^2+a+1
令x=0,y=a,所以顶点M为(-1,a+1),点A为(0,a)
直线MA为：y-a=(x-0)(a+1-a)/(-1-0)=-x,即：y=-x+a
所以顶点M为(-1,a+1),直线MA的解析式为y=-x+a
（2）直线y=x/2+a/2交x轴于点B(-a,0),直线MA即y=-x+a交x轴于点C(0,a),
两直线交点N为（a/3,2a/3）.
△NBC沿x轴对折,因为BC在x轴上,因此点N'与点N关于x轴对称,所以点N'为（a/3,-2a/3).
点N'坐标代入抛物线方程得：
-2a/3=-(a/3)^2-2*(a/3)+a
解得：a=9
（3）分别使得△NBC三条边作为平行四边形的对角线之一,
因此可以作3个平行四边形,对应点P有三个：
BC直线y=0；NC直线y=-x+a；NB直线y=x/2+a/2
3.1）当NB为对角线时：直线y=2a/3与直线y=-x-a的交点P为(-5a/3,2a/3)
代入抛物线方程得：2a/3=-(-5a/3)^2-2*(-5a/3)+a,解得a=33/25.
3.2）当BC为对角线时：直线y=(x-a)/2与直线y=-(x+a)的交点P为(-a/3,-2a/3)
代入抛物线方程得：-2a/3=-(-a/3)^2-2*(-a/3)+a,解得a=21.
3.3）当NC为对角线时：直线y=2a/3与直线y=(x-a)/2的交点P为(7a/3,2a/3)
代入抛物线方程得：2a/3=-(7a/3)^2-2*(7a/3)+a,解得a=39/49.
综上所述,a=33/25或者a=21或者a=39/49