泊松流的合成,一定要详细过程

题目

泊松流的合成,一定要详细过程
题目是理发师等待顾客时间服从指数为λ指数分布
理发店又十个理发师,顾客等可能选择理发师
问对理发师a等待顾客时间的分布
用卷积公式和几何分布我怎么积也积不出来.
详细积分过程,谢谢!
这么多分不是白给的.
嗯……
结果是对的……
但为什么是（λt)^k呢。。。不太懂
还有为什么要除以k的阶乘都不太懂。。。
解释一下。。。
thx

答案

顾客的到来服从参数为λ的泊松过程,即时间t内出现的顾客数服从参数为λt的泊松分布,设a在时间t内等不到顾客的概率为F(t),即t内出现的k个顾客都选择其他9位理发师(概率9/10)
F(t)=∑[(λt)^k*e^(-λt)/k!]*(9/10)^k
=e^(-λt/10)*∑[(9/10λt)^k*e^(-9λt/10)/k!]
=e^(-λt/10)
a在t内等到顾客的概率=1-F(t)=1-e^(-λt/10)
服从参数为λ/10的指数分布
我建议你看看随机过程的书吧,参数为λ的泊松过程就是在时间t内事件出现次数N(t)服从参数为λt的泊松分布(性质之一是相邻两个事件间隔服从参数为λ的指数分布),当然就是（λt)^k了,除以k!也是泊松分布密度函数的一部分呀