化简f(x)＝cos(6k+1/3π+2x)+cos(6k−13π−2x)+23sin(π3+2x)（x∈R，k∈Z）并求函数f（x）的值域和最小正周期．

题目

化简f(x)＝cos(

6k+1

3

π+2x)+cos(

6k−1

3

π−2x)+2

3

sin(

π

3

+2x)（x∈R，k∈Z）并求函数f（x）的值域和最小正周期．

答案

f(x)＝cos(2kπ+

π

3

+2x)+cos(2kπ−

π

3

−2x)+2

3

sin(

π

3

+2x)
=cos(

π

3

+2x)+cos(

π

3

+2x)+2

3

sin(

π

3

+2x)
=2cos(

π

3

+2x)+2

3

sin(

π

3

+2x)
=4[sin

π

6

cos(

π

3

+2x)+cos

π

6

sin(

π

3

+2x)]
=4sin(2x+

π

2

)＝4cos2x
函数f（x）的值域是[-4，4]，最小正周期是T=

2π

2

=π，

先利用诱导公式和两角和与差的正弦函数对函数解析式化简整理，利用余弦函数的性质是求得函数f（x）的值域和最小正周期．

本题考点：运用诱导公式化简求值；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．

考点点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值，两角和与差的正弦函数，三角函数的周期性及其求法．考查了对三角函数基础知识的综合运用．