y=f(x)关于点(a,b)对称的表达式是什么
题目
y=f(x)关于点(a,b)对称的表达式是什么
答案
定义在R上的函数y=f(x)对定义域内任意x满足条件f(x)=2b-f(2a-x),则y=f(x)关于点(a,b)对称
证明:依题意,定义在R上的函数y=f(x)对定义域内任意x满足条件f(x)=2b-f(2a-x).
可将2a-x看成x’,即2a-x=x’→x+x’=2a.①
f(x)=2b-f(x’)→f(x)=2b-f(x’)→f(x)+f(x’)=2b.②
由①②可知对于函数y=f(x)上任意的(x,f(x))都存在(x’,f(x’))与之关于点(a,b)对称,所以定义在R上的函数y=f(x)对定义域内任意x满足条件f(x)=2b-f(2a-x),则y=f(x)关于点(a,b)对称[解题过程]从函数表达式来研究,
对于直线对称:若f(x)关于x=a对称,则有f(x)=f(2a-x)或f(a+x)=f(a-x);
对于点对称:f(x)关于(a,0)对称,则有f(x)=-(2a-x)或f(a+x)=-f(a-x).
对于奇函数[f(x)=-f(-x)]和偶函数[f(x)=f(-x)],则是这两类对称中的特例.
延伸:若是f(a+x)=f(b+x),则函数关于关于直线x=(a+b)/2对称
① 函数f(x) (1)是偶函数, (2)关于x=a对称
分析:由条件(2),可得f(a+x)=f(a-x),又由条件(1),所以f(x+a)=f(x-a).
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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