正四面体的外接球半径?

题目

正四面体的外接球半径?

答案

 

设正四面体的棱长为a,求其外接球的半径.
设正四面体V-ABC,D为BC的中点,E为面ABC的中心,外接球半径为R,
则AD=（√3）a/2,AE=2/3*AD=（√3）a/3.
在Rt△VAE中,有VE^2=VA^2-AE^2=a^2-a^2/3=(2a^2)/3,VE=(√6)a/3.
在Rt△AEO中,有AO^2=AE^2+OE^2=R^2+(VE-R) ^2,即R^2=a^2/3+[(√6)a/3-R] ^2,
可解得：R=（√6）a/4.
另外,我们也可以先求出OE,因为OE恰好是四面体的内切球的半径r,利用等积法可求得r.
设四面体的底面积为S,则1/3*S*（R+r）=4*1/3*S*r,可得r=R/3.于是在Rt△AEO中,有R^2 = AE^2+r^2=a^2/3+R^2/9,从而得R=（√6）a/4.