已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，外接圆半径是1，且满足条件2（sin2A-sin2C）=（sinA-sinB）b，则△ABC的面积的最大值为（　　） A.34 B.32 C.33

题目

已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，外接圆半径是1，且满足条件2（sin²A-sin²C）=（sinA-sinB）b，则△ABC的面积的最大值为（　　）
A.

3

4

B.

3

2

C.

3 3

4

D.

3

答案

由正弦定理，可得b=2RsinB=2sinB，代入已知等式得 2sin2A-2sin2C=2sinAsinB-2sin2B，即sin2A+sin2B-sin2C=sinAsinB，∴a2+b2-c2=ab，由此可得cosC=a2+b2−c22ab=12，结合C∈（0°，180°），得C=60°．∵ab=a2+b2-c2...

由正弦定理结合R=1，化简已知等式得到a²+b²-c²=ab，利用余弦定理算出cosC=

1

2

，从而可得C=60°．再利用基本不等式求出ab≤3，用正弦定理的面积公式即可算出△ABC的面积的最大值．

本题考点：正弦定理的应用．

考点点评：本题给出三角形的边角关系，求三角形面积的最大值，着重考查了正余弦定理、三角形的面积公式和基本不等式求最值等知识，属于中档题．