三角形ABC中角CAB=90度,AB=AC,E,F是BC上的点且角EAF=45度,求证EF的平方=BE的平方+FC的平方?

题目

三角形ABC中角CAB=90度,AB=AC,E,F是BC上的点且角EAF=45度,求证EF的平方=BE的平方+FC的平方?

答案

证明：
作BG⊥BC,使BG=CF,连接AG
⊿ACF≌⊿ABG（SAS）
∴AF=AG,∠CAF=∠BAG
∵∠EAF=45º,∴∠EAG=∠CAF+∠BAG=45º
∴⊿FAE≌⊿GAE（SAS）
∴EF=EG
∴EF²=EG²=BE²+BG²=BE²+FC²