已知sinx+cosx=m，（|m|≤2，且|m|≠1）， 求：（1）sin3x+cos3x； （2）sin4x+cos4x的值．

题目

已知sinx+cosx=m，（|m|≤

2

，且|m|≠1），
求：（1）sin³x+cos³x；
（2）sin⁴x+cos⁴x的值．

答案

∵sinx+cosx=m
∴1+2sinxcosx=m²，即sinxcosx=

m2−1

2

（1）sin³x+cos³x=（sinx+cosx）（1-sinxcosx）=m（1-

m2−1

2

）=

3m−m3

2

（2）sin⁴x+cos⁴x=1-2sin²xcos²x=1-2（

m2−1

2

）²=

−m4+2m2+1

2

（1）利用sinx+cosx=m两边平方可求得sinxcosx的值．把sin³x+cos³x化简得（sinx+cosx）（1-sinxcosx）把sinx+cosx=m和sinxcosx的值分别代入可得答案．
（2）把sin⁴x+cos⁴x化简为1-2sin²xcos²x，把sinxcosx的值代入即可．

本题考点：三角函数中的恒等变换应用．

考点点评：本题主要考查了三角函数的恒等变换的应用．这道题利用了同角三角函数的关系式来解决问题．