已知椭圆方程x方/9+y方/5=1,椭圆右顶点为A,动点M在右准线上,左焦点F,FM交椭圆于P,设直线PA的斜率

题目

已知椭圆方程x方/9+y方/5=1,椭圆右顶点为A,动点M在右准线上,左焦点F,FM交椭圆于P,设直线PA的斜率
为k1直线MA斜率为k2,求k1k2取值范围

答案

：（1）由已知,得 {ca=23a2c=92（2分）
解得 {a=3c=2.∴ {a2=9b2=5.（4分）
∴椭圆C的标准方程为 x29+y25=1；（6分）
（2）设点P（x1,y1）（-2＜x1＜3）,
点M (92,y2),∵点F、P、M三点共线,x1≠-2,
∴ y1x1+2=y2132,y2=13y12(x1+2),∴点M (92,13y12(x1+2))．（8分）
∵ k1=y1x1-3,k2=13y13(x1+2),
∴k1•k2= y1x1-3×13y13(x1+2)= 13y123(x1+2)(x1-3)．（10分）
∵点P在椭圆C上,∴ x129+y125=1,∴ y12=-59(x12-9)．
∴k1•k2= 13×(-59)(x12-9)3(x1+2)(x1-3)= -6527×x1+3x1+2= -6527×(1+1x1+2)．（12分）
∵-2＜x1＜3,∴ k1•k2＜-269．∴k1•k2的取值范围是 (-∞,-269)．（14分）