已知函数f(x)=4＾x+m2＾x-6m恰有一个零点,则实数m的取值范围

题目

已知函数f(x)=4＾x+m2＾x-6m恰有一个零点,则实数m的取值范围

答案

令 t=2^x ,则 t>0 ,
f(x)= g(t)=t^2+mt-6m ,
由于 f(x)=0 恰有一个零点,因此 g(t)=0 只有一个正根 ,
（1）如果 g(t)=0 有两个相等的正根,则判别式=m^2+24m=0 ,且 x1+x2= -m>0 ,x1*x2= -6m>0 ,解得 m= -24 ；
（2）如果 g(t)=0 恰有一个正根,一个非正根,则由于抛物线开口向上,因此 g(0)= -6m0 ；
综上可知,f(x)=4^x+m*2^x-6m 恰有一个零点,则 m 的取值范围是｛m | m= -24 或 m>0｝.