关于“落在区域内的概率只与区域的长度、面积等有关”

题目

关于“落在区域内的概率只与区域的长度、面积等有关”
在网上查了一圈没找到证明过程.
是否可以理解为几何概型是基于实验事实的问题?也就是说它的出现是为了解释现实中的概率问题?
考虑到理论点没有面积线没有宽度,而实际中不存在这样的点和线,我觉得应该只能先假定一个宽度为dl的线或面积为ds的点,计算出该情况下的概率,之后再将dl和ds趋向于0.这种做法是否正确?而且,在这种计算方式下贝特朗悖论也可以轻易解释——取点的概率相等这毫无疑问,但这些点并非都能连出一条”线“,因为当线的宽度被假设为任意一个趋向于0的变量dl时,线与线之间重叠的部分或空隙的总和都是一个与dl同阶的无穷小,不可忽略.
我需要一些严密的或者权威的资料……
说错.能求出重叠部分的比例恒大于某一个常数值
举个比较常见的例子
从一个三角形的一顶点作中线、角平分线
现由该点任作一条直线
落在角平分线两边的概率显而易见相等
落在中线两边的概率,因为一条线是过两点而作,可以认为这条线是先在对边上选了一点再与该点相连,故落在两侧概率亦相等
但是,如果换一种描述方式,一支铅笔放在三角形的一点上,让它随机倒下,倒向哪边概率大?问题出现了,我们不可能知道这支铅笔是看准了一个点而笔直倒向它,还是选了一个方向倒下去的,铅笔倒下的过程甚至可以理解为有一根无形的线拴在了笔尖上,而线的另一端随机选了一个点,接着这根线不断收缩,就把铅笔拉向了那个点.如此看来,不论如何假设,其结果都是一样的,选点与选方向是同时完成的,没有先后之分.那么,两种答案也就自然只有一种可能是对的,实验可说明角平分线是对的.
而这个问题也可以用有限趋向于无穷来说明

答案

概率论的基础是：
集合论
测度论
自从知道分球怪论之后,我的世界观彻底崩溃了,什么,只要你有特殊的切割工具,一个苹果可以切成2个一样大的?
自从知道self-reference之后,我不相信集合论了.
自从知道一个弱智都可以砍死9头蛇后,我不相信智商了.