已知f(x)=x^3-ax^2-3x,g(x)=-6x(a属于实数)若h(x)=f(x)-g(x)在x属于（0,+∞）时是增函数,求a的取值范围

题目

已知f(x)=x^3-ax^2-3x,g(x)=-6x(a属于实数)若h(x)=f(x)-g(x)在x属于（0,+∞）时是增函数,求a的取值范围

答案

∵f(x)=x³-ax²-3x,g(x)=-6x
∴h（x）=x³-ax²+3x
∴h‘（x）=3x²-2ax+3
又∵x属于（0,+∞）时f（x）是增函数,即当x属于（0,+∞）时h‘（x）=3x²-2ax+3大于0
∴只要求h‘（x）=3x²-2ax+3x属于（0,+∞）大于0的解就够了.
h‘（x）是个二次函数,对称轴是X=a/3
❶当a＜0时,h’（x）最小是h（0）=0,因为x不能取到0,所以h‘（x）=3x²-2ax+3x属于（0,+∞）大于0
❷当a＞0时,h’（x）最小是h（a/3）=-a²/3 +a
所以要有-a²/3 +a＞0
解得a属于（0,1/3）
❸当a=0时,h（0）=0,解释如❶,成立
综上所诉,当a属于（-∞,-1/3）符合题意
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