已知函数f(x)＝lgkx−1x−1．（k∈R且k＞0）． （1）求函数f（x）的定义域； （2）若函数f（x）在[10，+∞）上单调递增，求k的取值范围．

题目

已知函数f(x)＝lg

kx−1

x−1

答案

（1）由题意得，

kx−1

x−1

＞0，即（x-1）（kx-1）＞0，
∵k＞0，∴应分三种情况求
当0＜k＜1时，定义域为(−∞，1)∪(

1

k

，+∞)，
当k=1时，定义域为（-∞，1）∪（1，+∞）
当k＞1时，定义域为(−∞，

1

k

)∪(1，+∞)；
（2）令y=

kx−1

x−1

=k+

k−1

x−1

，
∵函数y=lgx在定义域上单调递增，且f（x）在[10，+∞）上单调递增，
∴函数y=

kx−1

x−1

在[10，+∞）上单调递增，∴k-1＜0，解得k＜1，
∵当0＜k＜1时，函数的定义域是(−∞，1)∪(

1

k

，+∞)，
∴

1

k

＜10，即k＞

1

10

，
∴k∈(

1

10

，1)．