如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,BG平分∠ABC,EF‖BC,求证AE=CF

题目

如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,BG平分∠ABC,EF‖BC,求证AE=CF
                 

答案

过E点作AC的平行线,交AB于P,交BC于Q
因为∠BAC=90°,且PQ平行AC
所以∠EPB=90°
所以∠PAE+∠PEA=90°.
又因为AD⊥BC
所以∠DEQ+∠EQD=90°
因为∠PAE=∠DEQ
所以∠PEA=∠EQD
且BG是∠ABC的平分线,所以∠ABE=∠QBE
所以△BEA全等△BEQ
所以AE=EQ
又因为EF平行BC,EQ平行CG
所以四边形QCFE是平行四边形
所以EQ=FC
所以AE=FC