如图三角形ABC中,CA=CB,以BC为直径的圆O交AB与D,圆O的切线DE交AC于E

题目

如图三角形ABC中,CA=CB,以BC为直径的圆O交AB与D,圆O的切线DE交AC于E
（1）求证：DE⊥AC
（2）若∠A=60°,AB=16,EF⊥BC于F,求EF的长

答案

（1）求证：DE⊥AC
BC为直径,∠CDB=90°;∠CDA=∠CDB=90°;
CA=CB,∠A=∠B,所以∠ACD=∠BCD,
∠B=∠CDE,[弧DC所对圆周角=弧DC所对圆切角]
∠CDE+∠ACD=∠B+∠BCD=90°;
所以∠CED=90°,因此DE⊥AC
（2）若∠A=60°,AB=16,EF⊥BC于F,求EF的长
∠A=60°=∠B,∠ACB=(180-2*60)=60°;
三角形ABC为等边三角形,AB=BC=CA=16;
∠BCD=30°=∠ADE=∠ACD;
EF⊥BC于F,∠CEF=30°,
AD=AC/2=16/2=8,[30°所对直角边=斜边的一半]
AE=AD/2=8/2=4;
CE=AC-AE=16-4=12,CF=CE/2=12/2=6,
EF²=CE²-CF²=12²-6²=144-36=108
EF=√108=6√3.