已知数列{an}满足a1=1,an+1=｛1/2an+n,n为奇数,an-2n,n为偶数｝

题目

已知数列{an}满足a1=1,an+1=｛1/2an+n,n为奇数,an-2n,n为偶数｝
（1）求a1,a2；
(2)当n》2时,求a2n-2与a2n的关系式,并求数列｛an｝中偶数项的通项公式；
（3）求数列｛an｝前100项中所有奇数项的和

答案

1a1=1,a2=1/2a1+1=3/2
2.当n为＞2的偶数时,an=1/2a(n-1)+(n-1)=1/2[ a(n-2)-2(n-2)]+n-1=1/2a(n-2)+1
所以设n=2k(k∈Z),a2k=1/2a2(k-1)+1
所以a2k-2=1/2a2(k-1)-1=1/2[a2(k-1)-2]
{a2k-2}是首项为-1/2,公比为1/2的等比数列.
a2k-2=-1/2*(1/2)^(k-1)=-(1/2)^k
所以{an}中偶数项的通项公式为an=-(1/2)^(n/2）+2 (n为偶数）
3.n为奇数,an=(a(n+1)-n)*2={-（1/2)^[(n+1)/2]+2-n}*2=-(1/2)^[(n-1)/2]-2(n-2)
a1+a3+...+a99=-1-(1/2)^1-(1/2)^2-...-(1/2)^49-2-6-10-...-198+4*50=
-(1-(1/2)^50)/(1-1/2)-(2+198)*50/2+200=-4802+2^(-49)