设A为m乘以n阶矩阵,且R(A)=n,判断AT(转置)A是否为正定矩阵,说明理由
题目
设A为m乘以n阶矩阵,且R(A)=n,判断AT(转置)A是否为正定矩阵,说明理由
答案
答: A^TA 是正定矩阵.
对任一非零n维列向量x,
因为 r(A)=n, 所以 AX=0 只有零解.
所以 Ax ≠ 0
所以 (Ax)^T(Ax) > 0
即 x^T A^TA x > 0
所以 A^TA 是正定矩阵.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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