求证：整除性问题,当n∈N时,f(n)=(2n+7)3^n+9能被36整除

题目

求证：整除性问题,当n∈N时,f(n)=(2n+7)3^n+9能被36整除

答案

数学归纳法
n=1:f(n)=9*3+9=36
n=2:f(n)=11*(3^2)+9=108=36*3
...
n=k:f(n)=(2k+7)*3^k+9假设可被36整除
n=k+1:f(n)=(2k+9)*(3^(k+1))+9
=3*(2k+9)*3^k+9
=3*(2k+7)*3^k+9+3*2*3^k
=2*(2k+7)^3^k+((2k+7)*3^k+9)+2*3^(k+1)
=(3^k)*(4k+14+6)+ ((2k+7)*3^k+9)
这样看,前一项显然可被36整除 后一项是上一步假设的 所以f(k+1)可以被36整除
所以f(n)可以被36整除
数学归纳法：
1.证明第一项成立
2.假设第n项成立
3.证明第n+1项成立