如图，△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC．点P在△ABC内，且PA=3，PB=5，PC=2，求△ABC的面积．

题目

如图，△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC．点P在△ABC内，且PA=

3

，PB=5，PC=2，求△ABC的面积．

答案

如图，作△ABQ，使得∠QAB=∠PAC，∠ABQ=∠ACP，则△ABQ∽△ACP．∵AB=2AC，∴△ABQ与△ACP相似比为2．∴AQ=2AP=23，BQ=2CP=4，∠QAP=∠QAB+∠BAP=∠PAC+∠BAP=∠BAC=60°．由AQ：AP=2：1知，∠APQ=90°，于是PQ=3A...

首先构造△ABQ使得∠QAB=∠PAC，∠ABQ=∠ACP．根据相似三角形的性质，求得AQ、BQ的值．再根据角间的关系求得∠QAP=60°，进而得到△APQ为直角三角形、△BQP为直角三角形．再利用勾股定理求得AB²的长．利用正弦定理与三角形的面积计算公式求得△ABC的面积．

本题考点：面积及等积变换．

考点点评：本题考查三角形面积的计算、勾股定理、相似三角形的判定与性质．解决本题的关键是构造△ABQ使得∠QAB=∠PAC，∠ABQ=∠ACP，根据相似三角形的性质及勾股定理求得AB²的值．