用向量法证明已知正四面体ABCD,若AB垂直CD,AD垂直BC,则AC垂直BD

题目

用向量法证明已知正四面体ABCD,若AB垂直CD,AD垂直BC,则AC垂直BD

答案

令向量AB=d,向量AC=c,向量AD=d
则向量CD=AD-AC=d-c, BC=AC-AB=c-b, BD=AD-AB=d-b
因为AB垂直CD,AD垂直BC
所以AB点乘CD=0,即b点乘（d-c）=0,就有b点乘d=b点乘c
同理,d点乘c=d点乘b
所以d点乘c=b点乘c
那么有,AC点乘BD=c点乘（d-b）=c点乘d-c点乘b=0
所以AC垂直BD