写出函数f(x)=(a^2-x^2)^(1/2)/(|x+a|+a)为奇函数的充要条件并证明结论

题目

写出函数f(x)=(a^2-x^2)^(1/2)/(|x+a|+a)为奇函数的充要条件并证明结论

答案

奇函数意即-f(x)=f(-x)
代入得-√(a²-x²)/(|x+a|+a)=√(a²-x²)/(|-x+a|+a)
如果定义域将x限制在{-a,a},则此等式已经成立,已经是奇函数了；
若x是任意值,√(a²-x²)不会恒等于0,约去
-|x+a|-a=|x-a|+a
-2a=|x-a|+|x+a|
分析,右边的等式只有四种情况：
（1）2x=-2a,x=-a,即定义域被限制在了{-a},前面已经讨论过了；
（2）-2x=-2a,x=a,前面也讨论过了；
（3）2a=-2a,a=0,代入函数式有√（-x²）/|x|,此式无任何定义域,舍去；
（4）-2a=-2a,只需将定义域限制在[a,-a]即可,而这显然要求a≤0,而
a=0已经讨论过不行,所以只能有a＜0;另外,当x=0时,分母为
|a|+a=-a+a=0,舍去
∴充要条件为a＜0,且定义域为[a,0) ∪ (0,-a]