已知,∠CAD=∠CDA,AC=BD,E在BC上,DE=EC,求证:AD平分∠BAE.

已知,∠CAD=∠CDA,AC=BD,E在BC上,DE=EC,求证:AD平分∠BAE.

题目
已知,∠CAD=∠CDA,AC=BD,E在BC上,DE=EC,求证:AD平分∠BAE.
答案
证明:∵∠CAD=∠CDA,
∴AC=DC.
又∵AC=BD,
∴AC=BD=DC.
∴AC:BC=AC:(BD+DC)=
1
2

∵DE=EC,DE+EC=DC,
∴EC=
1
2
DC=
1
2
AC,
∴EC:AC=(
1
2
AC):AC=
1
2

∴AC:BC=EC:AC=
1
2

在△BAC与△AEC中,
AC:BC=EC:AC
∠C=∠C;

∴△BAC∽△AEC,
∴∠B=∠CAE,
∴∠CAD=∠DAE+∠CAE=∠DAE+∠B,
∵∠CDA=∠B+∠BAD,
又∵∠CAD=∠CDA,
∴∠DAE=∠BAD,
∴AD平分∠BAE.
先由∠CAD=∠CDA,根据等角对等边得出AC=DC,于是可证AC:BC=EC:AC=
1
2
,又∠C公共,得出△BAC∽△AEC,那么∠B=∠CAE,再由∠CAD=∠DAE+∠CAE=∠DAE+∠B,∠CDA=∠B+∠BAD,即可证明∠DAE=∠BAD,AD平分∠BAE.

等腰三角形的性质.

本题考查了等腰三角形的判定,三角形外角的性质,相似三角形的判定与性质,难度适中.得出AC:BC=EC:AC=

1
2
是解题的关键.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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