设函数f(x)=-x(x-a)^2 (x∈R) 其中a∈R (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程(2)当a≠0,求函数f(x)的极大值和极小值(3)当a>3时,证明存在

题目

设函数f(x)=-x(x-a)^2 (x∈R) 其中a∈R (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程(2)当a≠0,求函数f(x)的极大值和极小值(3)当a>3时,证明存在k∈[-1,0],使得不等式f(k-cosx)≥f(k^2-cos^2x) 对任意的x∈R恒成立

答案

1) 原函数化为 f(x)=-x^3+2ax^2-a^2x
则f'(x)=-3x^2+4ax-a^2
把a=1代入得 f(x)=-x^3+2x^2-x f'(x)=-3x^2+4x-1
把2代入f（x）中得f(2)=-2
再把2代入f'(x)得出该点在切线的斜率为-5
则该点为（2,-2） 斜率为5
利用点斜式得出切线方程为 y=5x-12
2)当f'(x)=0时 x1=-1/3a x2=-a
这是f（x）的极值点 代入原函数
极大值=16/27a^3 极小值=-4a^3
3）f(k-cosx)=(cosx-k)(k-cosx-a)^2
f(k^2-cos^2x)=(cos^2x-k^2)(k^2-cos^2x-a)^2
因为cosx∈[-1,1]
当f(k-cosx)≥f(k^2-cos^2x)时 a>3 （这步你自己化简吧）
然后都有了
导数题一般前两问都不难 尤其是文科 算的多了就明白都是那么一回事~就是求导 代入 化简~..