已知函数f（x）的定义域为R，且对任意x∈R都有f（x）=f（x-1）+f（x+1），若f（-1）=2，f（1）=3则f（2012）+f（-2012）=（　　） A.-5 B.-10 C.5055 D

题目

已知函数f（x）的定义域为R，且对任意x∈R都有f（x）=f（x-1）+f（x+1），若f（-1）=2，f（1）=3则f（2012）+f（-2012）=（　　）
A. -5
B. -10
C. 5055
D. 5060

答案

因为f（x）=f（x-1）+f（x+1）
所以f（x+1）=f（x）+f（x+2）
两式相加得0=f（x-1）+f（x+2）
即：f（x+3）=-f（x）
∴f（x+6）=f（x）
f（x）是以6为周期的周期函数，f（-1）=2，f（1）=3
2012=6×335+2，-2012=-6×335-2
∴f（2012）=f（2）=-f（-1）=-2
f（-2012）=f（-2）=-f（1）=-3
∴f（2012）+f（-2012）=--5
故选：A．