证明bernoulli 不等式,好像是要用到算数平均值跟几何平均值

题目

证明bernoulli 不等式,好像是要用到算数平均值跟几何平均值

答案

Bernoulli不等式：
(1+x1)(1+x2)…(1+xn)≥1+x1+x2+…+xn,其中xi是符号相同且大于-1的数
证明：
才用数学归纳法：
当n=1时,此时1+x1=1+x1,当然有1+x1≥1+x1成立
设n=k时,不等式成立,即：(1+x1)(1+x2)…(1+xk)≥1+x1+x2+…+xk
则对于n=k+1,由于xi>-1,则1+xi>0,则有
(1+x1)(1+x2)…(1+xk)(1+x(k+1))
≥(1+x1+x2+…+xk)(1+x(k+1))
=(1+x1+x2+…+xk+x(k+1))+(x1x(k+1)+…+xkx(k+1))
≥1+x1+x2+…+xk+x(k+1)
即,(1+x1)(1+x2)…(1+xk)(1+x(k+1))≥1+x1+x2+…+xk+x(k+1)成立
于是,(1+x1)(1+x2)…(1+xn)≥1+x1+x2+…+xn,其中xi是符号相同且大于-1的数
特别地,当x1=x2=…=xn=h时,有(1+h)^n≥1+nh,h>-1
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