自二面角内一点分别向两个半平面引垂线，求证：它们所成的角与二面角的平面角互补．

题目

自二面角内一点分别向两个半平面引垂线，求证：它们所成的角与二面角的平面角互补．

答案

证明：设二面角M-a-N内一点P，PA⊥平面M于点A，PD⊥平面N于点D，
作DC⊥a于点C，作AB⊥平面N，
∵AB∥PD，点P、A、B、C、D都在同一平面内，
∴点D在BC上，
∵AB⊥平面N、DC⊥a，∴AC⊥a，∠ACD是二面角M-a-N的平面角，
∵四边形APDC中，∠PDC=∠PAC=Rt∠，∴∠APD+∠ACD=180°
即自二面角内一点分别向两个半平面引垂线，它们所成的角与二面角的平面角互补．