空间直线的方向向量的问?2

题目

空间直线的方向向量的问?2
我看书知道：
A、空间直线的方向向量,也就是平行于直线的向量.
B、空间直线就是由两个平面相交的交线.
C、平面的法线向量垂直于该平面,所以也应该垂直于平面内的任意直线,包括这条交线.
所以我推得,这两个平面的法线向量,应该都垂直于他们交线的方向向量.
现在设两平面的方程为
I:x + y + z + 1 = 0
II:2x - y + 3z + 4 = 0
求交线的直线方程
那么平面I的法线向量为n = (1,1,1),平面II的法线向量为m = (2,-1,3)
设直线的方向向量为s = (A,B,C)
s与n和m的点乘都应该是0,所以有
1×A+1×B+1×C=0
2×A-1×B+3×C=0
A= -4C/3
B= C/3
方向向量就为(-4C/3,C/3,C)
取这条直线上的一点,x=0
代入原方程组组成新的方程组
y+z=-1
y-3z=4
x=0 y=1/4 z=-5/4是直线过的一个点.
那么就可以组成点向式方程
(x-0)/(-4C/3)=(y-1/4)/(C/3)=(z+5/4)/C
同乘以一个C,就可以消去,从而得到
x/(-4/3)=(y-1/4)/(1/3)=(z+5/4)/1
后面化简就先不做了.那么请问,求得这个是这个直线方程吗?
另：由于点向式写出来的直线方程,分子总是用未知数减去那个点的坐标.
由于选的点不一样,而且因为分子是一个减法的式子没办法继续化简.
是不是会导致同一条直线方程,写出来的最简的点向式会不一样?但是都是对的?

答案

方法是可以的 但是显然复杂了些.
我们知道 两点确定一条直线
而题目中给定了两面式直线方程
显然取这条直线上的两点,分别使x=0 y=0
可以算出(0,1/4,-5/4)和(1,0,-2)分别是直线上两个点
依照空间直线两点式就能算出答案了
(x-0)/(1-0)=(y-1/4)/(0-1/4)=(z+5/4)/(-2+5/4)
即x=1-4y=4z+5
楼主可以自己验证与第一次求出来的直线是否一样.
点向式的条件 包括一个定点和“一个”方向向量
诚然由于点和向的选择不同直线方程可以有不同