已知三次函数F（X)=ax^3+bx^2+cx 过点（-1.2） 且在（1.f(1))处的切线方程为y+2=0 设g(x)=f(x)+mf(x)

题目

已知三次函数F（X)=ax^3+bx^2+cx 过点（-1.2） 且在（1.f(1))处的切线方程为y+2=0 设g(x)=f(x)+mf(x)
当X属于 【1.正无穷）时 g(x)大于等于 —2恒成立 求实数m的取值范围

答案

f'(x) = 3ax²+2bx+c
点P（1,f(1)）的坐标为：（1,a+b+c）
切线斜率：k=f'(1) = 3a+2b+c
过P的切线方程：y-a-b-c = (3a+2b+c)(x-1) 与 y = -2 是同一条直线
即：3a+2b+c= 0 …… ①
a+b+c=-2 …… ②
又∵f(x)过（-1,2）点 ∴ -a+b-c= 2 …… ③
连理①②③得：a=1；b=0；c=-3；
即：f(x)=x³-3x
∴g(x) = (x³-3x)(m+1)
∵当X∈[1,+∞）时 g(x)≥ -2 恒成立
即 g(x)在[1,+∞）为单调增函数,且 g(1) ≥ -2
即：-2(m+1) ≥ -2
∴ m+1 ≤ 1
即：m ≤ 0