高一基本不等式

题目

高一基本不等式
1.已知a b c d属于（0,＋∞） 求证（ad+bc)/(bd)+(bc+ad)/(ac)≥4
2.已知a,b属于（0,＋∞）求证（a+b)(1/a+1/b)≥4
3.设abc属于（0,＋∞） 且a+b+c=1 求证（(1/a)-1)（(1/b)-1)（(1/c)-1)≥8

答案

(ad+bc)/bd+(bc+ad)/ac
=（cda^2+abc^2+cdb^2+abd^2)/abcd
={cd(a^2+b^2)+ab(c^2+d^2)}/abcd
≥(2abcd+2abcd)/abcd=4
(a+b)(1/a+1/b)-4
=(a+b)[(a+b)/ab]-4
=(a+b)^2/ab-4
=(a^2+2ab-b^2-4ab)/ab
=(a-b)^2/ab
∵a>0,b>0
∴(a-b)^2/ab≥0
∴(a+b)(1/a+1/b)-4≥0
∴(a+b)(1/a+1/b)≥4
证：已知a+b+c=1,a,b,c,属于正实数,
∵（1/a-1)
=(1-a)/a
=(a+b+c-a)/a
=(b+c)/a
又(√b-√c)^2≥0
b+c≥2√(bc)
∴（1/a-1)=(b+c)/a≥2√(bc)/a
同理
(1/b-1)≥2√(ac)/b
(1/c-1)≥2√(ab)/c
故(1/a-1)*(1/b-1)*(1/c-1)≥[2√(bc)/a]*[2√(ac)/b]*[2√(ab)/c]
=8 √[(a^2)*(b^2)8(c^2)]/(abc)
=8
∴(1/a-1)*(1/b-1)*(1/c-1)≥8