在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a、b、c三边的倒数成等差数列，求证：∠B＜90°．

题目

在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a、b、c三边的倒数成等差数列，求证：∠B＜90°．

答案

证明：假设∠B＜90°不成立，即∠B≥90°，从而∠B是△ABC的最大角，
∴b是△ABC的最大边，即b＞a，b＞c．
∴

1

a

＞

1

b

，

1

c

＞

1

b

．相加得

1

a

+

1

c

＞

1

b

+

1

b

=

2

b

，
与

1

a

+

1

c

=

2

b

矛盾．
故∠B≥90°不成立．