已知a=（3sinA，cosA），b=（2sinA，5sinA-4cosA），A∈（3π2，2π），且a⊥b．求tanA和cos（A+π3）的值．

题目

已知

a

=（3sinA，cosA），

b

=（2sinA，5sinA-4cosA），A∈（

3π

2

，2π），且

a

⊥

b

．求tanA和cos（A+

π

3

）的值．

答案

由题意可得

a

•

b

=6sin²A+5sinAcosA-4cos²A=0，
 即（3sinA+4cosA）（2sinA-cosA）=0，即：3sinA+4cosA=0  可得：tanA=-

4

3

；
或：2sinA-cosA=0，可得：tanA=

1

2

．
∵A∈（

3π

2

，2π），∴tanA＜0，∴只能tanA=-

4

3

．
∴sinA=-

4

5

，cosA=

3

5

，cos（A+

π

3

）=cosAcos

π

3

-sinAsin

π

3

=

3

5

×

1

2

-（-

4

5

）×

3

2

=

3+4 3

10

．

由题意可得

a

•

b

=6sin²A+5sinAcosA-4cos²A=0，求得tanA=-

4

3

，可得 sinA=-

4

5

，cosA=

3

5

，从而求得cos（A+

π

3

）=cosAcos

π

3

-sinAsin

π

3

的值．

本题考点：两角和与差的余弦函数．

考点点评：本题主要考查两角和差的三角公式，三角函数在各个象限中的符号，属于中档题．