设数列﹛an﹜满足a1＝1／2,a1＋a2＋a3＋…＋an＝n²an,用数学归纳法证明an＝1／[n﹙n＋1﹚]

题目

设数列﹛an﹜满足a1＝1／2,a1＋a2＋a3＋…＋an＝n²an,用数学归纳法证明an＝1／[n﹙n＋1﹚]

答案

a1＋a2＋a3＋…＋an＝n²an,①
以n+1代n,得a1＋a2＋a3＋…＋a＝(n+1)²a,②
②-①,a=(n+1)^2*a-n^2*an,
∴a=nan/(n+2),③
1）n=1时a1=1/2,公式成立；
2）假设n=k(k∈N+)时公式成立,即ak=1/[k(k+1)],那么
由③,a=kak/(k+2)=1/[(k+1)(k+2)],
即n=k+1时公式也成立.
综上,对任意n∈N+,公式都成立.