5已知,两向量组有相同的秩,并且其中之一可以由另一组线性表出,试证明：这两个向量组等价

题目

5已知,两向量组有相同的秩,并且其中之一可以由另一组线性表出,试证明：这两个向量组等价

答案

证:设n维向量组a1,a2,...,as可由向量组b1,b2,...,bt线性表示,且
r(a1,a2,...,as) = r(b1,b2,...,bt).
由 向量组a1,a2,...,as可由b1,b2,...,bt线性表示
得 r(a1,a2,...,as,b1,b2,...,bt) = r(b1,b2,...,bt)
而 r(a1,a2,...,as) = r(b1,b2,...,bt),
所以 r(a1,a2,...,as) = r(a1,a2,...,as,b1,b2,...,bt)
所以 a1,a2,...,as 的极大无关组就是 a1,a2,...,as,b1,b2,...,bt 的极大无关组
所以 a1,a2,...,as,b1,b2,...,bt 可由 a1,a2,...,as 线性表示
所以 b1,b2,...,bt 可由 a1,a2,...,as 线性表示
所以两个向量组等价.