如图:已知M是Rt△ABC的斜边BC的中点,P、Q分别在AB、AC上且BP=5,CQ=3,PM⊥QM,则PQ为( ) A.34 B.4 C.34 D.17
题目
如图:已知M是Rt△ABC的斜边BC的中点,P、Q分别在AB、AC上且BP=5,CQ=3,PM⊥QM,则PQ为( )
A. 34
B. 4
C.
D.
答案
延长QM至D,使DM=QM,连接BD、PD,
∵M是边BC的中点,
∴BM=CM,
在△CMQ和△BMD中,
∵
| BM=CM | ∠CMQ=∠BMD(对顶角相等) | DM=QM |
| |
,
∴△CMQ≌△BMD(SAS),
∴BD=CQ,∠DBM=∠C,
在△ABC中,∵∠A=90°,
∴∠C+∠ABC=90°,
∴∠DBM+∠ABC=90°,
即∠PBD=90°,
又∵PM⊥QM,DM=QM,
∴PD=PQ,
∵BP=5,CQ=3,
∴在Rt△PBD中,根据勾股定理,PD=
=
=
,即PQ=
.
故选C.
延长QM至D,是DM=QM,连接BD、PD,然后利用“边角边”证明△CMQ和△BMD全等,根据全等三角形对应边相等可得BD=CQ,全等三角形对应角相等可得∠DBM=∠C,然后求出∠PBD=90°,再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得PD=PQ,然后利用勾股定理列式进行计算即可得解.
矩形的性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理.
本题考查了全等三角形的判定与性质,勾股定理的应用,作辅助线,构造出全等三角形与直角三角形是解题的关键,也是本题的难点.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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