已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,直线l过点F交抛物线C于A、B两点. (Ⅰ)设A(x1,y1),B(x2,y2),求1/y1+1/y2的取值范围; (Ⅱ)是否存在定点Q,使得无论AB怎样运动都有∠
题目
已知抛物线C:x
2=4y的焦点为F,直线l过点F交抛物线C于A、B两点.
(Ⅰ)设A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),求
+的取值范围;
(Ⅱ)是否存在定点Q,使得无论AB怎样运动都有∠AQF=∠BQF?证明你的结论.
答案
(Ⅰ)设直线l方程为y=kx+1代入x
2=4y得x
2-4kx-4=0
设A(x
1,y
1)、B(x
2,y
2),则x
1+x
2=4k,x
1x
2=-4
+≥2=2=2=2所以
+的取值范围是[2,+∞).(7分)
(Ⅱ)当l平行于x轴时,要使∠AQF=∠BQF,则Q必在y轴上.
设点Q(0,b),由题意得
| kAQ+kBQ=0,设A(x1,y1),B(x2,y2), |
| |
,
∵
x12=4y1,x22=4y2,∴
b=-1∴Q(0,-1)
∵以上每步可逆,
∴存在定点Q(0,-1),使得∠AQF=∠BQF(15分)
(Ⅰ)设直线l方程为y=kx+1,将直线的方程代入抛物线的方程,消去y得到关于x的一元二次方程,再结合根系数的关系利用基本不等式即可求得求
+的取值范围,从而解决问题.
(Ⅱ)对于存在性问题,可先假设存在,即假设存在定点Q,使得无论AB怎样运动都有∠AQF=∠BQF,再利用斜率公式结合推理,求出Q点,若出现矛盾,则说明假设不成立,即不存在;否则存在.
直线与圆锥曲线的综合问题.
本题主要考查抛物线的标准方程和直线与抛物线的联立问题.直线与圆锥曲线的联立是高考考查圆锥曲线的一种典型题型,一般作为压轴题出现.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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