高等数学（复变函数）

题目

高等数学（复变函数）
设Z1,Z2,Z3三点适合条件：Z1+Z2+Z3=0及|Z1|=|Z2|=|Z3|=1试证明Z1.Z2.Z3是内接于单位圆周|Z|=1的 正三角形的顶点.
答案要准确详细!最好是自己做出来的,做的好的加分!
麻烦大家用大学知识解题，谢谢！

答案

我有一个纯复数的方法,晚上来写
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关键两点:
1、共扼复数的运用技巧,实现纯复数推理,而不借重于几何直观或者解析几何化.以下我们用Z'表示Z的共扼复数.
2、单位圆上的三个不同的复数点均布的判据,用复数表示：
判据1：Z₁/Z₂=Z₂/Z₃=Z₃/Z₁
判据2：满足同一个分圆方程：Z³=c,其中|c|=1
已知：Z₁+ Z₂+ Z₃= 0 --------------------------------------------(1)
Z₁Z'₁= Z₂Z'₂= Z₃Z'₃=1 ------------------------------------------(2)
（2)就表示Z₁, Z₂, Z₃在单位圆上,因单位圆上复数与其共扼复数互为倒数.所以判据1也可以写为Z₁Z'₂=Z₂Z'₃=Z₃Z'₁
证明：由(1)取共扼复数得
Z'₁+ Z'₂+ Z'₃= 0 ----------------------------------------------(1')
(1)×Z'₂得Z₁Z'₂+ Z'₂Z₃+1=0 -----------------------------------(3)
(1')×Z₃得Z'₁Z₃+ Z'₂Z₃+1=0 -----------------------------------(4)
比较(3)和(4)式得Z₁Z'₂=Z₃Z'₁------------------------------------(5)
轮换对称地可得Z₃Z'₁=Z₂Z'₃
易知Z₁, Z₂, Z₃不全相等,那么按判据1可知它们在单位圆上均布.
又：由(5)式可得Z²₁=Z₂Z₃,故Z³₁=Z₁Z₂Z₃
令c=Z₁Z₂Z₃,即Z₁满足方程Z³=c
对称地,Z₂和Z₃亦满足方程Z³=c
故亦可按判据2断定Z₁, Z₂, Z₃在单位圆上均布.
要说大学知识,就算这分圆方程了（高中没学）