设二次函数f（x）满足f（1）=f（3）且f（x）=0的两个根平方和为10,图像过（0,3）,求f（x） ）

题目

设二次函数f（x）满足f（1）=f（3）且f（x）=0的两个根平方和为10,图像过（0,3）,求f（x） ）

答案

设f(x)=ax²+bx+c=a(x+b/2a)²+c-b²/4a
∵二次函数f（x）满足f（1）=f（3）
∴f(x)关于x=2对称,即b/2a=-2,可得b=-4a.
∵图像过（0,3）
将点（0,3）带入函数得f(0)=c=3.
f(x)=ax²+bx+c=0,设方程两根分别为x1和x2,有x1+x2=b/a=-4.x1*x2=c/a=3/a,
由已知条件得x1²+x2²=10,x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1*x2=16-6/a=10,得a=1,b=-4
则f(x)=x²-4x+3.