关于一道矩阵的证明题目,我这样证有没有问题?

题目

关于一道矩阵的证明题目,我这样证有没有问题?
设A,B均为N阶矩阵,且AB=A+B,证明A-E逆.
我是这样证的,和书上的不一样：
AB-B=A
(A-E)B=A
A-E=AB^-1
又(AB^-1)(BA^-1)=E
所以A-E可逆》

答案

没说B可逆,所以直接写B^{-1}是有问题的.
直接算
(A-E)(B-E)
=(A-E)B-(A-E)E
=(AB-B)-(A-E)
=A-(A-E)
=E
所以A-E可逆,其逆为B-E