1.正方体中ABCD-A1B1C1D1,用向量法求证BD1⊥面A1CAB1

题目

1.正方体中ABCD-A1B1C1D1,用向量法求证BD1⊥面A1CAB1
2.在三棱锥D-ABC中,DA⊥面ABC,∠ACB=90°,∠ABD=30°,求AB与AC所成角的大小,用向量法

答案

（1）利用向量的数量积 BD1•AC=0,BD1•AB1=0,从而证明BD1⊥平面ACB1；
证明：（1）先证明BD1⊥AC．
∵ BD1= BC+ CD+ DD1,AC= AB+ BC,
∴ BD1• AC=（ BC+ CD+ DD1）•（ AB+ BC）
= BC• BC+ CD• AB= BC• BC- AB• AB=| BC|2-| AB|2
=1-1=0．
∴BD1⊥AC．同理可证BD1⊥AB1,
于是BD1⊥平面ACB1．
在AB上取一点E使CE⊥AB,连接DE
因为∠ACB=90,AC=BC 所以AE=BE
因为∠ABD=30 DA⊥平面ABC 所以∠AED就是异面直线AB,CD所以的角
cos∠AED=AE/DE= 3/7的1/2次方