设A=(aij)mn是正交矩阵,且A的行列式大于零,Aij是aij的代数余子式（i,j=1,2….,n）,证明：Aij=aij,i

题目

设A=(aij)mn是正交矩阵,且A的行列式大于零,Aij是aij的代数余子式（i,j=1,2….,n）,证明：Aij=aij,i

答案

证明: 因为A是正交矩阵
所以 A^TA=E
两边取行列式得 |A|^2=|A^TA|=|E|=1
由已知 |A|>0
所以 |A| = 1.
又由 A^TA=E
所以 A^TAA* = A*
所以 |A|A^T = A*
所以 A^T=A*
所以 aij=Aij, i,j=1,2,…,n