线性代数,可逆矩阵,初等变换

题目

线性代数,可逆矩阵,初等变换
有下面两句话.
1,设A,B为同阶可逆矩阵,则存在可逆矩阵C,使得C‘AC＝B C’是C的转置矩阵
2,设A,B为同阶可逆矩阵,则存在可逆矩阵P,Q,使得PAQ＝B
第一句是错的,第二句是对的,为什么呢?

答案

首先讲第二句 同阶可逆矩阵秩相等,就是相抵矩阵,相抵即可通过初等变换得到,书上有证明
第一句,满足前半句话只要求矩阵相抵就行了,比如[1,0;01]和[1,0;0,-1],
后半句话是要求矩阵合同的,显然[1,0;01]和[1,0;0,-1]做不到合同,所以C是不一定存在的